Trang chủ » Những bài toán thú vị » Chinese Mathematical Olympiad 1994

Chinese Mathematical Olympiad 1994

Chứng minh:

\sum^n_{k=0}2^k \binom{n}{k} \binom{n-k}{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}=\binom{2n+1}{n}

Lời giải: (Stranger411 – VMF)

Sử dụng công thức đảo chiều, ta được:

\sum^n_{k=0}2^k \binom{n}{k} \binom{n-k}{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}= \sum^n_{k = 0}{{2^{n - k}}\binom{n}{k}\binom{k}{\left[ {\frac{k}{2}} \right ]}}

Lại có \binom{k}{\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor} là hạng tử tự do trong khai triển (1+x)\left(x+\frac{1}{x} \right)^{k}

Từ đó, ta có:

\sum^n_{k=0}2^{n-k} \binom{n}{k} (1+x)\left ( x+ \frac{1}{x} \right )^k = (1+x)\left ( 2+x+ \frac{1}{x} \right )^n= \frac{1}{x^n} (1+x)^{2n+1}

Xét hạng tử tự do ở 2 vế, ta được:

\sum^n_{k=0}2^k \binom{n}{k} \binom{n-k}{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}=\binom{2n+1}{n}

Q.E.D

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s