Trang chủ » Những bài toán thú vị » Tổng quát hóa một bài toán

Tổng quát hóa một bài toán

Cho số nguyên tố p \equiv 1 \pmod{m}, m > 2. Chứng minh:
\prod^p_{t = 1} {\left( t^{m - 1} + t^{m - 2} + \cdots + 1 \right)} \equiv 0 \pmod{p}

Lời giải:

Xét các số có dạng i^m-1 với i \in (2,3,4,...,p-1). Ta giả sử g là căn nguyên thủy modulo p với g\neq 1 (ta chọn được do có đúng \varphi(p-1) căn nguyên thủy)

Khi ấy xét g^k thì do m>2 nên rõ ràng k<p-1 nên g^k \not \equiv 1 \pmod{p} vì ngược lại thì mâu thuẫn do ord_p(g)=p-1.

Do đó g^k \equiv t \pmod{p} suy ra 2\le t\le p-1 (do g^k \not \equiv 1 \pmod{p})

Lúc ấy xét số t^m-1 \equiv (g^k)^m-1 \equiv g^{mk}-1 \equiv g^{p-1}-1 \equiv 0 \pmod{p}.

Như vậy t^m-1 \vdots pt\neq 1 nên (t-1)(t^{m-1}+t^{m-2}+...+t+1) \vdots p.

Mặt khác gcd(t-1,p)=1 nên t^{m-1}+t^{m-2}+...+t+1 \vdots p suy ra \prod^p_{t = 1} {\left( t^{m - 1} + t^{m - 2} + \cdots + 1 \right)} \equiv 0 \pmod{p}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s